Sách - Giải Tích Trên Đa Tạp

Sách - Giải Tích Trên Đa Tạp Tác giả Hoàng Nam - Trần Trung Nhà xuất bản NXB Giáo Dục Việt Nam Đơn vị phát hành Công ty Cổ phần Sách Đại Học - Dạy Nghề Ngày xuất bản 01-2018 Số trang 204 Kích thước 16 x 24 cm Loại bìa Bìa mềm Nội dung "Mục đích của cuốn sách này là trình bày các khái niệm cơ bản của Giải tích trên đa tạp, mà chủ yếu là phép tính tích phân đối với các dạng vi phân. Đối tượng của cuốn sách là học viên cao học Toán. Mặc dù mục đích chính là trình bày về tích phân của các dạng vi phân trên đa tạp, nhưng thực chất mãi đến Chương 4 (trong 6 chương) chúng tôi mới nêu ra khái niệm dạng vi phân, còn khái niệm đa tạp chỉ được xây dựng ở Chương 5. Sở dĩ như vậy là vì ta cần đến những kiến thức chuẩn bị, trong đó có kiến thức về các dạng đa tuyến tính, đồng thời phải đưa ra cách tiếp cận mới đối với những khái niệm cũ như đạo hàm và tích phân trong Giải tích cổ điển. Đó cũng là cách làm của hầu hết các giáo trình và sách chuyên khảo về Giải tích trên đa tạp. Như đã biết, trong Giải tích cổ điển có các định lý về mối liên hệ giữa các loại tích phân khác nhau, trong đó có các định lý Green, Stokes và Gauss-Ostrogradski. Một vài nhà toán học đã có ý tưởng nêu ra một định lý duy nhất sao cho các định lý vừa nêu đều có thể coi như trường hợp riêng của định lý đó. Việc tìm kiếm một định lý như vậy đã dẫn đến việc nêu ra khái niệm dạng vi phân, khái niệm đa tạp và xây dựng phép tính tích phân của dạng vi phân trên đa tạp. Cần nhấn mạnh rằng, công việc nói trên là nhằm giải quyết một vấn đề thuần túy lý thuyết. Như trong chương cuối ta sẽ thấy, khái niệm tích phân của dạng vi phân trên đa tạp không thể có tính dụng hữu hiệu để tính tích phân trong các bài toán thực tế. Vì vậy, loại ví dụ và bài tập mang tính tính toán sẽ ít được nêu ra trong cuốn sách này (cũng như trong các sách khác về đề tài này). Ở đây, chúng tôi sẽ chỉ nêu ra những ví dụ và bài tập để giúp nắm chắc khái niệm và hiểu rõ các kết quả lý thuyết. So với các giáo trình và cách chuyên khảo cùng lĩnh vực, trong đó có các tài liệu [7] và [12], ngoài khác biệt về bố cục, cuốn sách này còn có một số khác biệt về nội dung cụ thể như sau. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày thêm về đạo hàm bậc cao và khai triển Taylor của hàm với biến vectơ, Việc làm này xuất phát từ một nhu cầu tự nhiên, và hơn thế, nó còn có tác dụng để thấy rõ mối tương quan của đạo hàm cấp cao với các dạng đa tuyến tính xét trong Chương 1. Trong Chương 4, chúng tôi chỉ ra sự vô nghĩa của ký hiệu f*(n) đối với ""hàm đổi ngẫu"" mà nhiều tài liệu vẫn hay dùng, và đưa ra một ký hiệu thay thế là f*, giúp tránh sự rối loạn trong cách hiểu. Cũng trong Chương 4, chúng tôi thay thế một công thức sai mà một vài tài liệu nổi tiếng hay nêu ra liên quan đến biểu thức dạng * , bằng công thức đúng (công thức (4.1.23)). Trong Chương 6, chúng tôi chỉ ra rằng, nói chung không nên dùng ký hiệu cho tích phân của hàm vô hướng | trên M , trừ trường hợp biểu thức dưới dấu tích phân thực chất là dạng vi phân hạng 0. Liên quan với vấn đề này, chúng tôi cũng chỉ ra rằng, không chỉ các định lý Green, Stokes và Gauss-Ostrogradski mới là trường hợp riêng của định lý cơ bản về phép tính tích phân trên đa tạp (hay định lý Stokes tổng quát), mà ngay cả định lý Newton-Leibniz cũng thế. "